Aktuelle Befunde zum frühen Zahlbegriffserwerb

Bis heute sind in der Sonderpädagogik noch immer Piagets Theorien zur Entwicklung des Zahlbegriffs sehr stark verbreitet (zum Beispiel de Vries 2018).

Bei der Zahlbegriffsentwicklung nach Piaget ist vor allem der Übergang von der präoperationalen Phase in die Phase der konkreten Operation von Bedeutung.

Für Piaget zeigt sich dieser Übergang, wenn eine Schülerin oder ein Schüler sogenannte pränumerische Fähigkeiten erworben hat. Diese sind die Fähigkeit zur Klassifikation und Seriation, zur Klasseninklusion und allem voran zur Mengen­invarianz. Erst wenn diese Kompetenzen erworben sind, ist es nach Piaget sinnvoll, sich mit Zahlen und auch dem Zählen auseinanderzusetzen. Allerdings wird dieses Konzept aufgrund mehrerer Studien zur Entwicklung von zahlbezogenen Kompetenzen heute sehr kritisch gesehen. Dabei spielt auch die Beobachtung eine Rolle, dass schon kleinste Kinder „ohne formalen Unterricht erstaunliche Konzepte von Zahlen, einen eindrucksvollen Zahlensinn“ (Ezawa 2002, 101) und ein Gespür für Zahlen entwickeln.

Die Idee, dass pränumerische Kompetenzen als Bedingungsgefüge für den Aufbau numerischer (zahlenbezogener) Gegenstandsbereiche dienen und entsprechend stufenfolgend hierarchisch behandelt werden sollten, entbehrt damit aktuell der „fachlichen Grundlagen und berücksichtigt weder die Lernausgangsbedingungen der Kinder und Jugendlichen mit geistiger Behinderung noch spezifische mathematische Perspektiven in dieser sensiblen Phase der kindlichen Entwicklung“ (Schäfer et al. 2019, 478). Zudem wird so das Interesse an Zahlen, dem Sinn von Zahlen, also mehr ‚funktionalen‘ Aspekten von Zahlen, mit dem Fokus auf allein numerische Kompetenzen in den frühen Phasen der Entwicklung verhindert beziehungsweise beeinträchtigt. Dönges (2016, 13) nennt dieses Vorgehen eine „unergiebige Warteschleife“. Auch weitere Studien haben gezeigt, dass Kinder bereits, bevor sie über operantes Denken verfügen, numerische Kompetenzen besitzen und einsetzen können. Daraus wird geschlossen, dass rein mengenbezogene Kompetenzen keine direkte Voraussetzung für ein numerisches Arbeiten sind (Moser Opitz 2008).

Dies deckt sich auch mit Studien bezüglich Schülerinnen und Schülern mit geistiger Beeinträchtigung. Hier konnte mehrfach gezeigt werden, dass Ansätze, die stark pränumerisch ausgerichtet sind, für die meisten dieser Lernenden unpassend sind (Garrote, Moser Opitz und Ratz 2015; Zentel und Sarimski 2017).

Im aktuellen Diskurs werden deshalb vor allem das Zählen und die (quasi-)simultane Mengenerfassung als wesentliche frühe numerische Kompetenzen hervorgehoben sowie der Blick auf die vielfältigen Aspekte des Zahlbegriffs ausgeweitet (Padberg und Benz 2011).

Gleichzeitig zeigen Ergebnisse der Säuglingsforschung, dass Kinder bereits im 1. Lebensjahr Mengen mit einer Anzahl von 1, 2 und 3 direkt unterscheiden und größere Mengen auf Basis der räumlichen Ausdehnung differenzieren können (Benz, Peter-Koop und Grüßing 2015). Mit Blick auf die Schule gilt es hinzuzufügen, dass sich insbesondere Kompetenzen, die für das Umgehen mit mathematischen Operationen notwendig sind, wie auch sprachliche sowie kognitive Kompetenzen, erst sukzessive im Schul­leben entwickeln und demnach immer wieder in mathematischen Zusammenhängen aufgegriffen und adressiert werden müssen (Schipper 2015).

Abbildung 1: Triple-Code-Modell nach Dehaene

Im Rahmen aktueller Forschung haben sich deshalb neuere Entwicklungsmodelle ergeben, die aufzeigen, wie sich numerische Kompetenzen entwickeln.

Dazu gehören zum einen neuropsychologische Modelle wie das Modell der drei Repräsentationsformen (Triple-Code-Modell) nach Dehaene.

Dieses Modell geht davon aus, dass Zahlen im Gehirn in 3 verschiedenen Modulen als un­terschiedliche Repräsentationsformen verarbeitet werden und diese verknüpft werden müssen, um sinnvoll mit Zahlen arbeiten zu können.

Dabei handelt es sich um eine – vermutlich angeborene – Vorstellung von Größe beziehungsweise Mächtigkeit, die einen Vergleich von Größen zulässt, eine visuelle Vorstellung von Zahlen durch die arabischen Ziffern und eine verbale durch das Zahlwort.

Dieses Modell zeigt, dass eine grundlegende Auseinandersetzung mit Größen durch das Größenrepräsentationsmodul bereits auf basalem Niveau möglich ist und sich diese numerischen Fähigkeiten durch den Kontakt mit Zahlwörtern und Zahlzeichen im aktiven mathematischen Handeln weiterentwickeln (Schneider, Küspert und Krajewski 2021).

Zum anderen gehört zu diesen neueren Entwicklungsmodellen das kognitionspsychologische Modell der Zahl-Größen-Verknüpfung nach Krajewski.

Abbildung 2: Modell der Zahl-Größen-Verknüpfung nach Krajewski 2021

Krajewski geht davon aus, dass sich das Verständnis von Größen und Zahlen sowie die Art und Weise, wie man damit operiert, auf drei Ebenen ab Geburt entwickelt:

Auf der ersten Ebene, den Basisfertigkeiten, entwickeln sich zunächst grundlegende Formen der Operation mit Mengen beziehungsweise Größenunterscheidung. Es konnte gezeigt werden, dass auf ganz basaler Ebene bereits Säuglinge in der Lage sind, Mengen auf Grund ihrer Ausdehnung näherungsweise zu unterscheiden und Mengen mit bis zu drei Objekten präzise in ihrer Anzahl zu erfassen, was auch Grundlage für das sogenannte Subitizing (simultanes Erfassen) von Mengen ist (Dornheim 2008). Somit ist es also bereits sehr früh möglich, Mengen und Anzahlen wahrzunehmen und Differenzierungen wie „viel“ und „wenig“ bei deutlichen Unterschieden vorzunehmen.

Parallel lernen Kinder bereits früh erste Zahlbegriffe kennen, die allerdings noch nicht mit Größen verknüpft sind, sowie die Zahlwortreihe (z. B. in Form eines Gedichts), die allerdings noch nicht mit Größen verknüpft ist.

Auf Ebene 2, dem einfachen Zahlverständnis, wird die Fähigkeit zur Operation mit Mengen beziehungsweise Größenunterscheidung weiter ausdifferenziert, da aufgrund verschiedener Aktivitäten nun direkte Relationen gebildet werden können (z. B. mehr als/weniger als) und somit Mengen auch veränderbar werden (z. B. mehr werden/weniger werden).

Parallel wird die Wahrnehmung von verschiedenen Mengen mit den verschiedenen bekannten Zahlwörtern verknüpft, wodurch diese in unpräzise Größenrepräsentationen überführt werden können. Diese wiederum gilt es dann durch viel­fache Abzählaktivitäten mit der Zahlenfolge zu verknüpfen, wodurch die Schülerinnen und Schüler in die Lage versetzt werden, Mengen exakt zu bestimmen und so eine präzise Größenrepräsentation zu entwickeln. Dies zeigt die hohe Bedeutung des Zählens für die Zahlbegriffsentwicklung und verdeutlicht erneut, warum ein einseitiges pränumerisches Angebot nicht ausreicht, um einen Zahlbegriff zu entwickeln.

Um diese wichtigen Zählprozesse ausführen zu können, müssen bestimmte Prinzipien angewendet werden.

Dazu gehören das Eindeutigkeitsprinzip, dass also jedes Element und jedes Zahlwort nur einmal gezählt wird und jedem Element nur ein Zahlwort zugeordnet wird, das Prinzip der stabilen Ordnung, dass also die Zahlen in der Zahlenreihe eine feste Reihenfolge haben, und das Kardinalsprinzip, dass also das zuletzt genannte Zahlwort die Gesamtgröße der Menge angibt. Diese Prinzipien beschreiben, wie gezählt wird.

Zusätzlich muss auch das Abstraktionsprinzip angewendet werden. Dieses besagt, dass jede Menge gezählt werden kann, egal welche Objekte sie beinhaltet, und auch das Prinzip der Irrelevanz der Anordnung muss angewendet werden, welches besagt, dass es für das Zählen egal ist, wie die Elemente einer Menge angeordnet sind. Diese Prinzipien beschreiben, was gezählt werden kann, und all diese Prinzipien gilt es in elementaren Lernsituationen zusätzlich zu verdeutlichen.

Auf Ebene 3, dem tiefen Zahlverständnis, werden dann die Größenrelationen mit Zahlen verknüpft, wodurch auch diese zerlegbar werden. Hier befinden wir uns dann bereits im Grundschulniveau (Schneider, Küspert und Krajewski 2021).

Für den Förderschwerpunkt Geistige Entwicklung hat Schäfer (2020) einen sogenannten „anschlussfähigen Mathematikbegriff“ entworfen, der – orientiert an den Bildungsstandards Mathematik für die Primarstufe (KMK 2004) – sowohl inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen wie auch prozessbezogene mathematische Kompetenzen einschließt. Zu diesen gehören z. B. kognitive Kompetenzen wie das Problemlösen oder das Modellieren, aber auch kommunikative Fähigkeiten wie Argumentieren oder (unterstützt) Kommunizieren.

Mit Blick auf Schülerinnen und Schüler mit komplexer Behinderung ist zudem deutlich zu machen, dass deren kognitive Entwicklung nicht einfach stehen bleibt, sondern analog verläuft, wenngleich es zu längeren Entwicklungsphasen kommen kann und das Zielplateau der Entwicklung unterschiedlich sein kann (Kuhl 2016). Dies schließt jedoch einen „besonderen“ Mathematikbegriff und -unterricht für diese Schülerinnen und Schüler im Prinzip aus, vielmehr sollte ein Mathematikunterricht so gestaltet sein, dass er voraussetzungslos für alle denkbaren Lernenden ist und individuellen Kompetenzerwerb ermöglicht. Denn Schülerinnen und Schüler mit komplexer Behinderung haben ebenso „eine Intuition für Zahlen und Größen und die dahinter liegenden Muster und Gesetzmäßigkeiten“ (Ezawa 2002, 102). Sie können diese jedoch nur weiterentwickeln und ausbauen, wenn sie entsprechende mathematische Angebote erhalten.

Schlussfolgerungen zu Aspekten eines Konzepts zum frühen Zahlbegriffserwerb im Kontext komplexer Behinderung

Numerisches Lernen beginnt bereits mit der Geburt. Alle Menschen bringen entsprechende Voraussetzungen dafür mit beziehungsweise sind von Grund auf kompetente Lernende im Bereich Mathematik. Somit lassen sich Ansätze ableiten, wie Lernen in diesem Kontext auf einem sich entwickelnden frühen Niveau möglich ist. Dies gilt grundsätzlich für alle Lernenden, da alle diese Entwicklungsphasen durchlaufen und entsprechend passende Lernbedingungen brauchen, um diese wesentlichen Fähigkeiten als Voraussetzung für den traditionellen Mathematikunterricht ab Klasse 1 zu erwerben. Für Lernende mit komplexer Behinderung ist dieser Ansatz aber noch mal von besonderer Bedeutung, da sie sich in der Regel deutlich länger innerhalb dieser Entwicklungsphase bewegen.

Als Prinzipien für ein Konzept für einen frühen Zahlbegriffserwerb können folgende Punkte festgehalten werden:

1. Der Zahlbegriffserwerb beginnt mit der Geburt!
2. Der Zahlbegriffserwerb ist voraussetzungslos!
3. Von den Lernenden ist nicht der vorherige Erwerb bestimmter Kompetenzen zu erbringen, um mathematische Angebote zu erhalten.
4. Sogenannte Vorläuferfähigkeiten entwickeln sich mit dem Erwerb mathematischer Kompetenzen und sind demnach eher als Entwicklungsschritte zu sehen.
5. Es bedarf einer aktiven Auseinandersetzung mit numerischen Inhalten, um Lernen zu ermöglichen!
6. Zahlwörter, die Zahlwortreihe und Zahlsymbole müssen jederzeit präsent sein!
7. Die Funktion der Zahlen im Alltag spielt eine wichtige Rolle beim Erwerb von Zahlenverständnis.
8. Analog zum Emergent Literacy-Ansatz gilt: „Entwicklung beginnt früh, wenn Angebote gemacht werden“ (vgl. Erickson und Koppenhaver 2020; Sachse 2022, 275).

Daraus lassen sich folgende Inhalte ableiten, die im Rahmen des frühen Zahlbegriffserwerbs berücksichtigt werden sollten:

Mögliche Angebote und Aktivitäten, die auf basal-perzeptivem Aneignungsniveau zu diesen Inhalten passen, sind z. B. (siehe weiterführend Loscher 2019):

Gleichsam gilt es deutlich zu machen, dass ein früher Mathematikunterricht für Schülerinnen und Schüler mit komplexer Behinderung nicht ausschließlich basal-perzeptiv gestaltet sein sollte. Im Gegenteil: Gerade die Integration anderer Aneignungsmöglichkeiten, wie z. B. der handelnde Umgang oder die manipulierende Tätigkeit mit Zahlen beziehungsweise zahlenbezogenen Aspekten, sollte essentieller Bestandteil des Unterrichts sein, um ein sich entwickelndes Mathematikverständnis zu begleiten und zu unterstützen.

Dies ermöglicht gemeinsamen Unterricht im Fach Mathematik (siehe auch unten) sowie individuelle Zugänge zu Zahlen auf unterschiedlichen Aneignungsniveaus, die von den Schülerinnen und Schülern entsprechend der angebotenen Lernmöglichkeiten genutzt und angenommen werden können.

So wird auch der Übergang zum konventionellen Mathematikunterricht erleichtert. Dabei kann sich ebenso am Emergent Literacy-Ansatz orientiert werden. Hier werden vier Fragen gestellt, die den Übergang vom frühen zum konventionellen Schriftspracherwerb markieren, sofern sie alle mit „ja“ beantwortet werden. In Analogie dazu könnte formuliert werden:

1. Kennt die/der Lernende die Zahlenreihe bis 20 und erkennt sie/er kleine Mengen simultan beziehungsweise quasi-simultan?
2. Hantiert die/der Lernende „zählenderweise“ mit Dingen/Gegenständen/Angeboten?
3. Kommuniziert die/der Lernende (gegebenenfalls unterstützt/idiosynkratisch) beziehungsweise zeigt Interesse an der Kommunikation über mathematische Aspekte?
4. Versteht die/der Lernende, dass Zahlen verschiedene Bedeutungen im Alltag haben?

Werden alle diese vier Fragen mit „ja“ beantwortet, können auch weitere Inhalte des konventionellen Mathematikunterrichts integriert und aufgegriffen werden. Wird eine Frage (noch) mit „nein“ beantwortet, sollten weiterhin umfangreiche und vielfältige Angebote aus dem Bereich des frühen Mathematikunterrichts gemacht werden.

Didaktische Prinzipien und Beispiele für die Umsetzung im Unterricht

Damit diese Inhalte und Aktivitäten im Unterricht mit Schülerinnen und Schülern mit komplexer Behinderung umgesetzt werden können, müssen weitere didaktische Prinzipien berücksichtigt werden.

Zum einen sollten die Inhalte so aufbereitet werden, dass sie den Aneignungsmöglichkeiten der Lernenden entsprechen. Da Lernende mit komplexer Behinderung oftmals vordringlich auf einem basal-perzeptiven Aneignungsniveau arbeiten, müssen diese Inhalte im Sinne eines erlebnis- und handlungsorientierten Unterrichtes umgesetzt werden. Dies bedeutet, dass ein Unterrichtsrahmen geschaffen werden muss, der ein möglichst umfangreiches Wahrnehmungs­erlebnis ermöglicht. Ausgangspunkt dabei sind die Fähigkeiten und die Handlungsmöglichkeiten, die die Lernenden zeigen.

Es geht also darum, dass die Schülerinnen und Schüler aktiv mit den Wahrnehmungs- und Bewegungsmöglichkeiten, die sie haben, die Inhalte erfahren und im gemeinsamen Handeln umsetzen können. Dies schließt körpernahe Angebote in Anlehnung an die Basale Stimulation ein. Es könnten beispielsweise Bewegungsangebote wie das gemeinsame Zählen auf einem Zahlenstrahl sein oder auch Angebote im Little Room nach Lilli Nielsen (Loscher 2019).

Da es bei den Inhalten der frühen Zahlbegriffsentwicklung vor allem um die Auseinandersetzung mit grundlegenden mathematischen Begriffen geht, müssen außerdem wesentliche Prinzipien der Begriffsbildung berücksichtigt werden. Nach Lang und Heyl (2021) gehören dazu das Schaffen einer Lernumgebung, die ausreichend Zeit für Exploration ermöglicht, sowie das Ermöglichen von konkreten Erfahrungen durch geeignete prototypische Modelle und Objekte. Außerdem gehört dazu die Hervorhebung von kritischen Merkmalen bei der eigenaktiven Exploration, die gegebenenfalls auch unterstützt wird. Dabei ist vor allem die Benutzung einer konkreten Terminologie von hoher Bedeutung.

Damit die Schülerinnen und Schüler die Begriffe mit den entsprechenden Objekten und Handlungen verknüpfen können, ist eine passende sprachliche Begleitung von entscheidender Bedeutung.

Ähnlich wie im Emergent Literacy-Ansatz ist zwischen der Form und der Funktion der Zahlen zu unterscheiden. Das bedeutet, dass zum einen Zahlaspekte (Form) im Unterricht angeboten und gelehrt werden müssen. Gleichwertig wichtig ist es aber auch, die Bedeutung der Zahlen im Alltag zu verdeutlichen und an situativ sinnvollen und für die Lernenden individuell wichtigen Situationen erfahrbar zu machen (Funktion). Dazu sollten Fragen im Mittelpunkt stehen wie:

• Wo wird gezählt/mit Zahlen operiert?
• Wann wird gezählt/mit Zahlen operiert?
• Warum wird gezählt/mit Zahlen operiert?

Beispielsweise kann gezählt werden, wie viele Lernende da sind, welcher Tag der Woche ist, wie viele Jahre jemand alt ist, wie viele Kerzen auf den Geburtstagskuchen müssen, wie oft die Uhr tickt etc. Hier geht es nicht primär darum, zu zählen, sondern die Bedeutung der Zahlen für uns alle im Alltag deutlich zu machen. Dies entspricht auch dem in der Mathematikdidaktik geforderten Prinzip der Ganzheitlichkeit, wobei hier nicht eine stoffliche Ganzheitlichkeit gemeint ist, sondern ein Lernen mit Sinnen, mit Gefühlen und mit Verstand, bei dem die Lernenden sowohl mit Blick auf die Form als auch die Funktion von Zahlen angesprochen werden.

Der Fokus auf die Funktionen neben der Form im Mathematikunterricht ist deshalb so elementar, da nur so ein Lernen in komplexen Alltagssituationen ermöglicht wird und nicht lediglich Teilfertigkeiten isoliert angebahnt werden, die dann nicht in den Alltag übertragen werden können.

Des Weiteren ist es wichtig für die Unterstützung der Begriffsbildung, dass die Schülerinnen und Schüler die Begriffe selbst im Kontext der Handlungen verwenden. Aus diesem Grund ist ein unterrichtsimmanenter Einsatz der Unterstützten Kommunikation gerade im Zahlbegriffserwerb von großer Bedeutung.

Die Lernenden müssen die Möglichkeit haben, die Begriffe und Operationen selbst anzuwenden und diese direkt mit ihren eigenen Handlungen und denen ihrer Mitschülerinnen und Mitschüler zu verbinden, um so die Chance zu haben, ein Verständnis dafür aufzubauen. Dies kann zum Beispiel den Einsatz eines Step-by-Steps im Rahmen von Zählprozessen bedeuten oder auch zum Beispiel den Einsatz von Tastern für Angebote am PC (Loscher 2019).

Schließlich ist zu bedenken, dass die Angebote anschlussfähig zum traditionellen Mathematikunterricht sein müssen, damit sie ein Lernen an einem gemeinsamen Gegenstand ermöglichen. Hier bietet das Spiralprinzip (PIKAS 2018) einen zentralen Ansatzpunkt.

Der traditionelle Mathematikunterricht ist so aufgebaut, dass er bestimmte Inhalte behandelt, die in jedem Schuljahr zunächst wieder aufgegriffen und dann erweitert beziehungsweise komplexer werden. Dies ermöglicht ein gemeinsames Lernen, indem so ein Unterrichtsinhalt für alle festgelegt werden kann, der dann anhand der Komplexitätsspirale differenziert behandelt wird. Orientierung ab den Inhalten der Klasse 1 bieten die Bildungsstandards der KMK (2004) und die zuvor genannten Entwicklungsmodelle.

Ausblick

Wie aufgezeigt werden konnte, ist es möglich, einen abstrakten Inhalt wie den Zahlbegriffserwerb mit Menschen mit komplexer Behinderung zu thematisieren. Analog zum Emergent Literacy-Konzept im Rahmen des Deutschunterrichts sollte dementsprechend im Mathematikunterricht ein Fokus auf die numerischen Kompetenzen im frühen Zahlbegriffserwerb gelegt werden, um hier Lernchancen für alle Lernenden zu schaffen. Dabei sind zwingend die Form und die Funktion der Zahlen beziehungsweise der mathematischen Inhalte zu berücksichtigen und zu integrieren. Aus der Kombination ergibt sich dann ein basaler Mathematikunterricht, der für die Lernenden individuelle Lernchancen bereithält.

Dabei darf jedoch nicht vergessen werden, dass der Mathematikunterricht neben den zahlbezogenen Inhalten noch weitere bedeutsame Inhalte wie Geometrie, Größen, Messen, Daten und auch den Zufall enthält, die ebenso ihren Platz im Rahmen des Unterrichts finden müssen.

Ferner ist zu betonen, dass die hier vorgestellten Ideen nur erste Ansätze sind und einer systematischen Aufarbeitung und vor allem der konzeptionellen Weiterbearbeitung mit Blick auf die konkrete Umsetzung in der Praxis bedürfen.

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